???????????????????????? 第九次习题课

?

内容:第七章

重点:向量的概念、坐标表示与各类运算、

空间直线、平面的方程.

难点:向量的向量积、空间曲面.

?

专题1 有关向量的各类概念的分类与联系

1. 向量的基本概念及其属性:

??? 向量的模(大小),向量的方向,两向量的夹角(特殊:平行,垂直)。

2.向量的运算:

?1)加法? 2)数乘? 3)数量积 4)向量积

3.向量的坐标表示:

? 1)预备:数轴(一维、二维、三维),笛卡尔坐标系。点与坐标的对应。投影。

? 2)向径与向量的表示:

模的表示;方向的表示---方向角;向量夹角的表示;向量运算的表示。

?

例1?????????????????? 在三维笛卡尔坐标系中,有一个平行

四边形ABCD,已知ABC的坐标:

A(1,01)?? B(3,12) ?C(2,20)

1) D点的坐标。

2) 的夹角。

3) 求平行四边形ABCD的面积。

4) 验证ABCD的两个对角线垂直。

5) 将平行四边形平行移动,使得B点移至

原点,求另外三点移动后的坐标。

?

答案 1=+={-3,0,-3},D(0,1,-1)

2arccos1/2=

3) ||=||||sin=3

4) ={-3,0,-3}{1,2-1},内积。

5)原={-1,1-2}C移动到(-1,1,-2)

? ={-2.-1,-1}A移动到(-2,-1,-1)

={-3,0,-3}D移动到(-3,0,-3)

?

例2?????????????????? A1,1,2),B33-2),yOz

面上点C,在AB的垂直平分线上且与AB

离为

提示:与AB两点距离相等。(答案:(0,2-1

?

专题2 向量的运算

一、线性运算.

1.加法;?? 2.数乘。

3:设

,试用表示

??? (答案:

?

二.非线性运算。

1.内积

2.外积: 方向右手系。

3.可解决的问题:

1)? 共线问题与共面问题;

2)? 求面积问题;

3)证明题(如证明不等式)。

?

4:设点A,BC的向径分别为

试证明A,B,C三点共线。

(提示:成比例。)

?

5:直线L通过点A-21,3)和B0-1,2),求点C0,2,1)到直线L的距离。

(答案:

提示:1)利用外积; 2)利用内积。

?

6: 试用向量证明不等式

?? (提示:分别表示向量的长度与内积。)

?

专题:空间直线、平面以及向量

一、空间直线

?? 一般方程:

?? 对称式方程:

?? 点向式方程:

??

二.平面

点法式:

一般方程:

?

7:求过直线且与平面

角的平面方程

(答案:

?

三、用向量及其运算解决平面与直线的问题

1.求平面以及直线的方程。

2求线与线、线与面、面与面的夹角。

3求点到平面的距离、点到直线的距离。

4.直线共面,平面共线等问题。

8:求直线与平面间的夹角。(答案:

?

9:证明:三个平面共线。

(提示:求平面系,简单。)

?

10:求点P3-1,2)到直线

??????????

的距离。(答案:

提示:求垂足,过此点作垂直两平面的平面即可。

思考:若直线是对称型怎么办?

如:求点P3-1,2)到直线

???????

的距离。

(提示:有两种方法,前面例题中有一个向量的方法,还可以作垂直直线的平面。)

11:求与直线与直线垂直且相交的直线方程。

?? (答案:

提示:所求直线的方向向量用的方向向量的外积求得。然后据各在一个平面上……

注:由此可以得到启发,在没有规定的情况下,求直线(平面)的方程的型式可灵活。

?

专题:空间曲线、曲面

一、曲面

?? 曲面的一般方程:Fxyz=0

? 常用到的二次曲面:

? 截痕法确定曲面形状的要点:

1) 确定xyz的范围。

2) 确定主要的三个截面:x=0y=0z=0

的形状。

3)确定xyz变化时截痕的变化

4)确定特殊的部分(如边界、邻接线)的形状。

?

二、空间曲线

一般方程:

参数方程:

??

12:说出下列方程表示的曲面

1??? 2

3xyz=0? ?????4

5? 6

(答案:

1) 双曲柱面;2)锥面;

3)三个坐标平面;

4)双叶双曲面(或旋转双曲面);

5)旋转抛物面;? 6)椭球。)

?

补充题:

选择题:

1.非零向量平行且同向,则下列式子中不正确的个数是?????????????? ?

;???? ;

????? ????

A. ? B. ? C. ? D.

解:第四式不成立,当方向不同时,等式不成立。选B

?

2.下列说法正确的是???????????? ??

1)任何向量都有确定的大小和方向;?

2)任何向量除以它自己的模都是单位向量;

3)为非零向量且,则平行;

4)只有模为的向量才是零向量;

A.??????????? 1) 2)? B. 2) 3)? C. 2) 4)? D. 3) 4)

1)零向量没有规定的方向

2)零向量不可以除自己的模。?

D

?

3.已知,则与平行的单位向量为????????????? ??

A.

B.

C. ?

?D.

解:

?

只有答案与之是平行的

?

4.已知点,则向量的方向角分别为??????? ??

A.? ????????B. ?

C. ???????? D.

同理

则夹角分别为

??答案D

?

5. 是单位向量,且,则? )。

A. ? B. ? C. ? D.

解: 由,则有

即得?? B

?

6下列曲线中,绕坐标轴旋转可以得到相同曲面的曲线是()。

1 2

?3

A.1) 2)? B. 1) 3)? C. 2) 3)? D. 1) 2) 3)

1)绕轴旋转得

????? 2)绕轴旋转得

??

?

7两平面的夹角为??????????????????????????? ? )。

A.? B. ?C. ? D.

解: 选C

8若两直线

相交,则( )

解: 设

代入

   选D

?

?

补充习题:

1. 是单位向量,且,则? )。

A. ? B. ? C. ? D.

解: 由,则有

即得?? B

?

2下列曲线中,绕坐标轴旋转可以得到相同曲面的曲线是()。

1 2

?3

?

A.1) 2)? B. 1) 3)? C. 2) 3)? D. 1) 2) 3)

1)绕轴旋转得

????? 2)绕轴旋转得??

3两平面的夹角为??????????????????????????? ? )。

A.? B. ? C. ? D.

解: 选C

4若两直线

相交,则( )

解: 设

代入

   选D

?

课后习题:

1求点D3,1,3到两向量

所在的平面的距离。(提示: 投影到上)

2.求点(-1,2,0)在平面上的投影。(提示:过此点作垂线)

3.求直线与平面的夹角。

4.证明两直线平行。

5.求点(-1,2,0)在平面上的投影。(提示:过此点作垂线)

6.求直线与平面的夹角。

7.证明两直线平行。

?

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