高等数学第八次习题课 365棋牌错误代码00013_365棋牌电脑下载手机版下载手机版下载_365棋牌手机版下载

????????????????????????? 第八次习题课

内容:第六章 (物理应用不考)

重点:微元法,定积分在几何上的应用。

难点:微元法,极坐标求面积。

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专题1 定积分元素法的要点

??? 1.被求的量有一个“不变”状态下的乘积表达式(前提)

2.确定被积变量(如x)与被积的范围;

3.给出一个被积变量增量很小时的所求量的微元(如fxdx

4.利用极限的思想,写出积分表达式。

?

1:一个长为a的不均匀细棒,其线密度为x为到某一固定端点的距离)。求此细棒的质量。(答案:

?

专题2 关于极坐标。

1.极坐标系:极点、极轴。极径,极角。

2.极坐标一般表示式:

3.极坐标的范围:无限制时:

(对有周期的函数往往取它一个周期)它唯一受r的限制:

如:1

2,故

?

4.常见的极坐标公式及其图形:

圆:

??? a为半径)

心形线:

阿基米德螺线:

?

5.极坐标与直角坐标的转换:

? 极坐标直角坐标:

?????? ??

? 直角坐标极坐标:

???????

???? 如:1化成

???? 2化成

?

6.极坐标的对称问题:

?? ,图形关于极轴对称。

?? ,图形关于极点对称。

?

如:心形线:关于极轴对称。

??? 双纽线:关于极轴与极点均对称。

?

专题3:定积分的应用以及注意的问题

无论是几何应用或物理应用,其原理都是用元素法

注意:以下所有的公式都是在标准的形式。对于具体问题,要学会变通!如果只会死套公式,学这一章就无意义了。

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1.??????? 求面积

注意:1)求面积关键要定出分界点以便分段以及上、下限对应的函数的大小。

定限方法:扫描定限:

直角坐标:横线竖扫,竖线横扫。

极坐标:射线旋转扫。

?

2)其次要考虑对x积分还是对y积分!

3)极坐标关键是要记住常见图形:圆、心形线,阿基米德螺线,的大致图形以及的范围。参数方程记住摆线、星形线即可。

?

A.直角坐标系下:

B.极坐标系下:

?

2:(1)求由曲线与曲线所围成部分的面积。(答案:

提示:

? 2(书2804题)求抛物线及其在点(0-3)和(3,0)处切线围成图形的面积。(答案见书后)

?? 提示:(0-3) 切线:

??????? 30) 切线:

?? 切线交点:

面积:

?

31(书28081)题 )求曲线以及所围成公共部分的面积。

???? ???????????(答案:书后有)

提示:注意画图。

? 2)圆被心形线分成两部分,求这两部分的面积。

??? (答案:,以及

提示:为分界点。

?

2.??????? 求体积

注意:1)这里只能求旋转体的体积以及界面面积已知的物体体积(一般物体的体积下学期学)。

2)要注意是绕哪个轴旋转。

3)对于稍微复杂的图形的旋转,可以用“投影法……

?

4:求由圆x轴旋转所围成的环体的体积。(答案:

提示:

5 分别求由曲线与直线x=ax=2ax轴与y轴旋转所围成的立体体积。

答案:(

提示:x轴:

???????? Y轴:(用微元法、投影法均可)

?

例6?????????????????? 设有一个椎体,底面为椭圆。底面椭

圆的长半轴为2,短半轴为1,高为3求其体积。(答案:

??? 提示:

?

3.??????? 求弧长

直角坐标下:

直角坐标参数方程下:

极坐标下:

?

7(书28227题)在摆线上,求分摆线第一拱成1:3的点的坐标。(答案:书后有答案 )

提示:设坐标对应参数为

?

8 计算曲线的全长

(答案:

提示:注意的范围。

?

?

?

补充习题:

选择题

1. 已知所围成图形面积为,则的值??????? ?

??

的交点:

,即得A

?

2由连续曲线。(这里

)及直线

所围成图形绕轴旋转一周所得的立体体积为????????????????????????? ? )。

A.

B.

C.

D.

?

解:?? 答案是A

?

3曲线与两坐标轴所围成图形面积为???????????????????????? ? )。

A. ? B. ? C. ? D.

与两坐标轴的交点为:

。故填A

?

计算:

抛物线通过点两点,且确定的值,使抛物线与轴所围成图形面积为最小。

抛物线过? .

又过点

代入上式: ,

,得 (舍去),

代入

?

课后练习:

1.求抛物线及其在点()处的法线所围成的图形的面积。

2.由y=x=2y=0围成的图形,分别绕x轴与y轴旋转,分别求旋转体体积。

3.计算阿基米德螺线,对应于

的一段弧对应极轴所围成的面积。

4. 求曲线t=0t=1的一段弧。

?

?

?

?

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