?????????????? ?????????第五次习题课

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内容: 第三章第四节至第七节

重点: 函数各类性状的描述;函数作图。?

难点: 曲率;利用函数的性状证明题目。

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专题 函数的性状的总结

1.??????? 单调性以及极、最值点;

注意:极值与最值的关系;对于可导函数,驻点是极值点的必要非充分条件。

2.??????? 凹凸性以及拐点;

??? 注意:若函数有二阶导,是函数凹(凸)的充分条件。不是必要条件!

是拐点的必要条件。

3.??????? 渐近线;

渐近线取决于无穷远点的极限。

铅直渐进线x=a

水平渐近线y=b:

4.??????? 奇偶性:若是奇函数(或偶函数)就只需要考虑半边。

5.??????? 周期性:若是周期函数就只需要考虑一个周期。

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说明:函数的奇偶性与周期性与函数的导数没有关系。但是在描绘函数图形时不可不考虑它们。

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1:求函数的图形

解:定义域:? 奇函数;

? 驻点:

??? 拐点:x=0

无水平渐近线,铅直渐进线:x=1x=-1

斜渐近线:y=x

?

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专题:函数的极值与最值

单纯函数的极值与最值的求法比较简单,按书中步骤即可。具体问题的最值往往只有一个驻点。这个驻点一般不必判断就是最值点。

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2 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆。截面的面积为5。问底宽x为多少时才能使界面的周长最小,从而使建造时的材料最省。

????

提示:面积

周长:

答案:底宽:

?

3 求函数y=[-51]的极值与最值。

?? 答案:最大值:最小:

极大:无极小值。

?

专题:利用函数的性状证明题目:

1. 利用函数的单调性证明不等式

?? 特点:不等式的某一边是单调函数(用求导判)。

4:证明:当时,

证明:?

时,连续,

时单调增加,即

?

2.利用函数的单调性证明方程的根的个数

?? 依据:方程的根对应函数的零点。

?

5.证明方程有且仅有一个实根。

?

提示:令。利用单调性证明至多只有一个实根。在[02]上利用介值定理证明存在一个根。

有了导数与单调性的关系后,一般方程的根的个数以及范围均可以确定下来!

???

3.利用函数的凹凸性证明不等式

?? 特点:1)有相同结构的和; 2)有中点值;3)单边不等式。(注意与中值定理的条件比较)

6

?

提示:令y=cosx

?

4.总结:到现在为止,证明不等式的常用方法有以下:

1)???????? 利用中值定理;(运用原则见上次习题课)

2)???????? 利用泰勒公式;(不作要求)

3)???????? 利用函数的单调性与极(最)值;

4)???????? 利用函数的凹凸性.

?

7 现在给出几个不等式的证明题目,请同学们判断它们各用什么方法证明并证明之。

(1)????????? 证明:当时,tanx-x0

(2)????????? 证明:

???????

3)证明:

4)对于,证明

?????????

?

提示:(1)用单调性; [0

2用凹凸性? [a,b]

?3)用函数最值;

?4)用中值定理。

?

?

补充练习:

选择题:

1对数曲线上哪点处的曲率半径最小????????????????????????????? ?

? A B C????? ??D

? 选(A)。,令

?

2.设偶函数具有连续的二阶导数,且??????????? ? )。

A.不是的驻点;

B.一定是 的极值点;???

C.一定不是的极值点;

D.是否为极值点,还不能确定。

?

解:选(B是偶函数,

?

3.曲线的曲率的最大值为(? )。

?? A ?? B ?? C ???? D

解 选(B)。,当时,

?

4.对数曲线上哪点处的曲率半径最小???????????????????????????? ? )。

? A B C?? D

? 选(A)。,令

?

课后习题:

1.??????? 画出函数 的图形。

2.??????? 证明:时,

3.一个半径为的球内有一个内接正圆锥体,问圆锥体的高和底半径成何比例时,圆锥体的体积最大? ?

4.,利用最值证明不等

式:

提示: