365棋牌错误代码00013_365棋牌电脑下载手机版下载手机版下载_365棋牌手机版下载

????????? ???第四次习题课

?

内容:? 第三章第一节至第三节

重点:? 拉格朗日中值定理;用洛必达法则求极限;函数的泰勒展开与近似计算。

难点:? 柯西中值定理。

?

专题1? 微分中值定理的应用

?? ?中值定理有四个,其中罗尔定理可以看成是拉格朗日中值定理的特殊情形。拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情形。柯西中值定理用得比较少。泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的另一种推广.

???

1. 证明不等式

??? 适合用中值定理的不等式一般具备下列几个条件:1)具有相同结构的差值;2)有导数的影子;3)双边不等式。

?

1? 证明:

?

提示:令利用拉格朗日中值定理。

?

2 ?证明

提示:令用拉格朗日中值定理。

(对a讨论)

?

2.证明方程根的存在性

3 若方程

有一个正根,证明:方程

必有一个小于的正根.

?? 提示:用罗尔定理。区间[0]

?

4 设函数

则方程(? ).

(A)一个实根? ?(B)两个实根?????

(C)三个实根? ?(D)无实根

解析:利用罗尔定理

答案:(C).

?

?

?

3.证明函数导数的状况

?

5? 上连续,在内可导,证明(1)在内至少存在一点,使

.

?2)若,则对于任意,存在,使

?

6 fx)在[0,1]上连续,在(01)内可导。f1=1。试证至少存在一点,使得 .

提示:用拉格朗日中值定理。

?

7 ?fx)在[0,1]三阶可导,? f0=f1=0

证明:Fx=在(0,1)内存在c,使得

?

8? 上连续,在内可导,证明:存在,,使得 .

提示待证式变形为,提示通过拉格朗日中值定理确定,再对上利用柯西定理即证.

?

?

专题2? 洛必达法则求极限以及注意的问题

1.??? 每一次求导前均注意是否未定型;

2.??? 求导后若极限不存在不要贸然下结论;

3.??? 常常结合其它方法使用,不要一看到未定型就用它。

?

5:求下列极限

1?? (答案:1

2

(答案:2

?

(3)

?

提示:用换底公式? 答案:

?

专题3 ?函数的泰勒展开

1.?? 泰勒公式展开方法:

(1)?? 直接法

求高阶导比较方便易找规律时用此法。注意有两种形式的余项:拉格朗日型与佩亚诺型。按照题目要求做。前者常用来估计误差,后者简便。它们其实是等价的!

6 分别求y=x=0 x=1点的泰勒展开式。

?

答案:

X=0

X=1

7写出按的乘幂展开多项式的表达式。

?

??? ?答案:

?

?

(2)?? 间接法:

此法相对灵活,就是不直接按部就班求导,而是分部分求导或通过变量代换利用原来的已知公式展开。

8 的带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式。

?

9 的带佩亚诺型余项的马克罗林展开式。

答案:

2.?? 函数的泰勒展开的用途

(1)?? 利用多项式函数近似代替一般函数。

说明:泰勒公式与微分都是求近似。

联系:微分公式可以看成一阶泰勒公式。

泰勒公式优点:精确可控;缺点:复杂。

微分公式优点:简单;缺点:不算很精确,不可控。

?

10 用二阶泰勒公式求的近似值,并估计误差。然后用微分求一遍它的近似值,以此验证两种方法的优劣。

答案:泰勒:

=0.8571

误差小于

微分:

?

2)利用泰勒公式求极限(少用)

11 ?

?? (提示:将展开,答案:1/2

(3)证明不等式

注:此种方法较难。作为本科生不作太多要求。

12:证明:

提示:将作泰勒展开。

?

4)证明函数的导数等性状

?

说明:我们发现,泰勒公式与微分中值定理有相似的功用。这是因为泰勒公式中的末项用到了中值定理。

?

13 证明fx)是n次多项式的充要条件是

?

提示:关键是充分性的证明。

?

补充习题:

.选择题

1在区间上满足罗尔定理条件的函数是????????????????????????????? ??

A??? B

? C????? D

?

2.可导且,则( )

(A)? 至少存在一点,使

(B)? 一定不存在点,使

(C) 恰存在一点,使

D对任意的,不一定能使

?

3.下列各式应用罗必达法则正确的是(? )。

A

B???

C不存在;??

D

? 选(B)。AD:不能用洛必达法则;C

?

?

?

课后习题:

1.f(x)[a,b]n阶导,且

??

证明在(ab)内至少存在一点使得

2利用罗比达法则求极限

12

?

3.?? 利用泰勒公式求极限:

4.将函数按(x+2)的展开的带有拉格郎日余项的泰勒公式。