高等数学2总复习1 365棋牌错误代码00013_365棋牌电脑下载手机版下载手机版下载_365棋牌手机版下载

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典型例题精选

一、计算

1、极限与连续。

*1 求极限05-06A

提示:利用重要极限。

答案:2

2判断极限是否存在。

?

提示:不存在。取直线族

?

2、多元函数求偏导;极值与最值。

*3 ,(1)求2)设,求全微分03-04

答案:1=0

2

**4 ,其中有二阶连续偏导数,求02-03

答案:

**5 在第一卦限做椭球面的切平面,使得该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小,求切点的坐标。07-08 A

提示:切平面的方程:

???????

四面体体积:,拉格朗日乘数法:

提示:运算讲究技巧。(利用对称)

答案:切点坐标

?

**6 ,求

答案:

?

*7 若函数在点处取得极小值,求a

答案:a=-5.

?

*8求函数在点处的梯度和沿该梯度方向的方向导数。04-05

答案:梯度:;梯度方向的方向导数:

?

9求曲线在点(121)处的切线方程与法平面方程。(08-09)

答案:切线:

法平面:

?

2、二重积分与三重积分。

*10 计算二重积分

围成的区域。

答案:

?

*11,其中D是闭圆域05-06

提示:利用对称性。

答案:0

?

*12交换积分次序并计算: ?(04-05)

答案:

?

**13 确定。05-06

提示:利用球面坐标(此题柱面不好算)。

答案:

?

**14,其中为上半球体 (08-09)

提示:用球面坐标。

答案:

注意:不能将被积函数代4

?

**15 由锥面与平面所围成。(06-07)

提示:利用柱面或球面坐标均可以。

答案:

柱面:

球面:

=

?

**16计算

所围四面体。

提示:先一后二或先二后一均可。建议尽可能先一后二。

答案:

=

?

**17求曲面被柱面

所截下的部分的面积。

答案:

D为单位圆所围的平面区域。

?

*18? 将下列积分化极坐标形式,并计算

答案:=

?

3、曲线积分与曲面积分;

*19? 顶点为(00),(30)和(32)的三角形的正向边界。07-08A

提示:直接积分或用格林公式均可。

答案:

20计算曲线积分,其中L是曲线05-06A

提示:技巧是将取代被积函数!

答案:

?

21计算曲线积分,其中是直线与两坐标轴所围成的三角形的边界。04-05b

答案:

注意:下限必须小于上限。

?

22

(06-07)

提示:BA的直线段后用格林公式。

答案:

D为单位圆的上半部分)

?

**23,其中是上半球面的上侧。05-06A

提示:加底面(下侧)利用高斯公式。

答案:为上半球面。

?

***24:计算半球面的上侧,(08-09)

提示:加底面z=a下侧)利用高斯公式。

答案:上侧。

???? =

?

**25:利用高斯公式计算为球面的外侧。(06-07)

错解:

答案:

?

**26

外侧02-03

提示:典型的利用高斯公式。

答案:,下面做法同上面例14

?

**27 ,其中为锥面

被平面z=0z=3所截的部分。

注意:不要看做是二重积分。

答案:

?

*28计算曲线积分(04-05)

提示:代替被积函数。

答案:

?

29 计算其中为锥面 以及平面围成的整个边界曲面。

答案:

=

?

4.级数展开及其求和函数

30将下列级数展开成幂级数,并指出收敛区间。

1

2

答案:(1

2

?

*31:将展成x的幂级数,并指出收敛区间。06-07A

答案:

收敛区间:(-1,1

?

**32展开成的幂级数,并指明展开式成立的区间。

提示:

答案:

成立区间:1<>

?

33展成正弦级数。07-08

提示:对函数作奇延拓。

答案:

级数:

**34求级数的和函数

提示:利用指数函数展开式。

答案:

?

5.解微分方程。

*35的通解,。

提示:一阶线性:

答案:

?

**36设可导函数满足

(08-09)

提示:求导变有初值的微分方程

??????????? ?

?????? ??????

答案:

?

*37求微分方程的通解。(04-05)B

答案:

?

*38求微分方程 的通解。

提示:利用全微分方程

答案:

?

*39求欧拉方程的通解。05-06A

答案:。方程变为

????????

通解:

?

二、判断

*40:判别下列级数的敛散性。

1? 2

提示:1)比值加重要极限。收敛。

2)不满足收敛必要条件。发散。

?

*41求幂级数的收敛区间.05-06

答案:收敛区间为(注意边界)

?

*42判别下列级数是否收敛?若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?

1? ?2? 07-08

答案: 1)收敛;绝对收敛(比较)。

2)收敛,条件收敛。证明{}(在n足够大时单调减可辅助函数:,求导。

?

**43判断下列级数的敛散性

1? 2

提示:(1)比较的极限形式(2)分情况讨论。

答案:1)发散(2时散,敛。

?

三、证明:

***44,(n=2,3,.)证明:当时,幂级数收敛,并求其和函数。(08-09)

提示:易证,据阿贝尔判别法

答案:n项和为,则用错项相减:

????

两边同时取极限得和函数

?????????

??????

**451。证明:若收敛,则收敛。2,上述命题的逆命题是否成立?证明你的结论或给出反例。(06-07)

提示:利用不等式

逆命题不成立,反例:,其中

????

????

?

*46证明下列曲线积分与路径无关并计算:

对应于的一段弧。04-05

提示:验证即可证明。

答案:0

?

四、应用

47一个半球状的雪堆,其体积融化的速度与半球面积成正比(比例常数为),假设在融化过程中雪堆始终保持半球状,已知半径为的雪堆在开始融化的3小时内,融化了其体积的,问雪堆全部融化需要多少小时?02-03

提示:

列微分方程:

有:,初值条件:

答案:全部融化要6小时。

?

**48要造一个容积等于定值k的长方体无盖水池,应如何选择水池的尺寸,方可以使其表面积最小?

提示:设长宽高各为xyz

????????

约束条件:xyz=k

用拉格朗日乘数法做。

答案:

?

说明:后面标注的如(06-07)表示式取自06-07年度本校的试题。

*号的表示难度,一个*表示较为简单的基本题,两个*表示难度中等,三个*表示较难。

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