第七次习题课

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内容:第十一章第四节至第八节。

重点:函数的幂级数展开与傅里叶展开

难点:傅里叶级数。

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专题:函数的幂级数展开方法总结。

一、???? 直接法。(等比、裂项或递推)

二、???? 换元法。

三、???? 四则运算法。

四、???? 逐项求导(积分)法。

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1已知函数

(1)????????? 将函数展开成x的幂级数;

(2)????????? 将函数展开成(x+4)的幂级数。

提示:裂项加等比。注意针对不同的展开点有不同的展开方法。

(答案(1

2

?

2 展开为x的幂级数。

提示:求导后展开,再逐项积分。先导后积。(注意积分后的下限!)

答案:

?

3 展开成x的幂级数。

提示:,对导数里面的函数展开,再逐项求导。先积后导.(注意首项)

答案:

4 将函数展开成x的幂级数。

提示:四则运算+换元.

答案:

?

5 ??展开

提示:换元+四则运算+先导后积。

答案:

?

专题:求级数的和(或幂级数的和函数)

一.常见数项求和法。

??? 1.等比;? 2.错项相减。?

二.逐项求导与逐项积分。(上一次习题课讲过,本次习题不举例)

三.利用泰勒级数(换元或加减项等)。

四.利用傅里叶级数(少见)。

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6 求下列级数的和。

1

提示:利用的泰勒展开式。

答案:.

2

提示:利用的泰勒展开式,再求导两次

答案:2e.

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7:求下列幂级数的和函数

1

提示:利用指数函数的泰勒展开式。关键在于如何搭配通项。要经历几个步骤。

答案:

2? 并求:

?

提示:利用指数函数的泰勒展开式。

(答案:;

?

专题:函数的傅里叶展开。

两种展开法的比较:

?

幂级数展开

傅里叶展开

公式

条件

fx)在有任意阶导数。

周期函数fx)在一个周期内最多有限个第一类间断点和极值点。

范围

一般初等函数均可。

周期函数或定义域为有限区间的函数。

局限

条件较强(比后者强)。

应用范围小。间断点不收敛于函数值。

应用

近似计算。计算特殊积分。

波与振动问题。

注意:函数的傅里叶展开,我们只需要针对简单的函数能套公式些出展开式即可,比必要做太多其它题型。

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8 设下列函数的周期为,求其傅里叶级数。

?????

提示:偶函数。

答案:

(注意级数做了延拓)

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9 设周期函数在一个周期内的表达式为

??????

试将其展开成傅里叶级数。

提示:偶函数,

答案:

?

补充习题:

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第六次作业第4题:

4.函数关于的幂级数展开式为(? )。

A? B

C D

? ?B.

?

第七次作业第7:

7.将函数展开成的幂级数。

?

?

?

第九次作业第7题:

7.将函数展开成的幂级数,并据此证明.

? 因为

??????? 所以

所以 R=+∞,收敛区间为(-∞,+∞)

?

由上知 ???????????????????

??????????? 所以?

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