第五次习题课

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内容:第十章第四节至第七节

重点:两种类型的曲面积分、高斯公式

难点:高斯公式、斯托克斯公式

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专题:两类曲面积分与重积分的关系

说明:1一代,二换,三投:代z,换 D为的投影。

一代,二投,三定向:代z,D为的投影,定向:确定曲面的侧的方向。

2)求曲面积分的重点就是这个“”字!投影要以计算(第七章讲过!)为主,作图为辅。难也难在于投影有时候不是投在xoy面,而是投在xoz面和yoz面。

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1计算曲面积分,其中为锥面被柱面所截下的有限部分.(第五次作业第五题)

分析:首先确定是哪一类积分,然后“以直代曲”,这里有两个面,前者是确定被积曲面的;后者是用来确定化重积分的积分区域的。

答案:

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2 计算曲面积分

是柱面被平面所截得的在第一卦限的前侧。

问:用高斯公式方便吗?

分析:注意投影及其符号。

答案:

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专题:各种积分之间的关系

1图示:

2.现在为止,已经介绍了所有各种定积分与重积分的变式。综合起来,可以用下列口诀记忆:

??????? 以直代曲微转换

??????? 变量统一看相关

??????? 积分升级看闭域

??????? 偏导只作导数观

???????????????

??

3.所有积分的规律总结:

?? 所有积分,有两大要素:一是被积函数部分;二是被积微分部分。其中微分部分又含微分形式和范围。形形色色的积分均从第二个要素变化而来,比如:

对定积分的微分部分变化,将微分范围由x轴的一段变成曲线的一段,就成了曲线积分,微分形式不变的是第一类,微分形式改弧长的是第二类。定积分可作为两类曲线积分的特殊情形。

?? 对二重积分的微分部分变化,将微分范围由xoy面的区域变成曲面的一块,就成了曲面积分,微分形式不变的是第一类,微分形式改面积的是第二类。二重积分可作为两类曲面积分的特殊情形。

?? 综上:积分变量分成1维、2维、3维;1维对曲线(直线);2维对曲面(平面);三维对立体。总的说来,对积分变量的处理仍然是“以直代曲”:以对直线的定积分求曲线积分;以对平面的二重积分求曲面积分!

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3曲面积分

其中为球面的外侧.(据第六次作业第七题略改)

提示:复杂的形式的积分,第一:是否据可将变量代常量;第二:能否用对称性;第三:能否根据两类积分的关系转化,一般都是第二类化第一类,此种情况一般被积函数含有的表达式第四:利用高斯公式。此题恰好四种方法都可以用!

答案: ?

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4计算

。其中fxyz连续,为平面在第一卦限的上侧。

(利用两类曲面积分关系公式,答案:1/2

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5(第7次作业第6题)计算曲面积分

,其中是锥面,而是锥面上的点处外法线的方向余弦.

提示:利用高斯公式,注意加盖封闭。

答案:

(上侧,所围区域为)

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6 计算

其中为上半球体

表面的外侧。

分析:典型的利用高斯公式,记住:只要涉及dxdydxdzdydz在一起的都要想到高斯公式!它是封闭曲面。

答案:

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专题 通量、散度;环流量,旋度的理解及其关系:

通量:通过曲面的场的流量。如:水流的快慢

散度:一个点产生的场的强度。如电场某点有电荷

环流量:场在一个封闭环的流量。

旋度:场在某点的旋转的强度。如江水的漩涡

关系:

1.?????????? 不可压缩的流量场(如:水流、电场)流经一个封闭空间的通量(流量)等于封闭空间各处产生的源头强度之和。

2.?????????? 流量场流经一个封闭环的环流量相当于环内曲面各点旋转强度之和。

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6求下列向量

穿过以(3-1,2)为球心,3为半径的球面的流向外侧的流量。

提示:求通量,封闭曲面积分,用高斯公式;

答案:108.

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7求向量场沿(从z轴正向看去,逆时针方向)的环流量。

提示:曲线积分;答案:2

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补充:

6次作业第3题:

1.设为柱面被平面所截得的在第一卦限的部分,取外侧;面、面与面上的投影区域分别记为,则

可化为二重积分(?

A????? B

C

D

A

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9次作业第2

为抛物面介于平面之间的部分,则??????

?

?

9次作业第3题:

3.设是平面在第一卦限部分的上侧,面上的投影区域,则曲面积分?

A

B

C

D?

解 选D

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