第二次习题课

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内容:第八章第六节至第八节。

重点:多元函数的微分、多元函数的极值。

难点:方向导数与梯度。

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专题:空间曲线与曲面的几何问题。

曲线的切线与二元函数的偏导数有关。

曲面的切平面与二元函数的微分有关。

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1.空间曲面的方程为

?????????

求其在点(1,1,1)处的切平面方程。用平面:截此曲面,求其交线在(1,1,1)的切线方程。并验证此切线在上述切平面上。

(切平面:

切线: ?,用参数方程代入验证。)

????

2.求椭球面确定的隐函数z=fxy)在点(1/2,1/2)的全微分。并求椭球面在点(1/2,1/2,1/2)的切平面方程。由此题可以得出什么结论?

(答案:

在点(1/2,1/2)的全微分:

切平面:

结论:全微分确定的平面即为切平面。)

?

专题:多元函数极值与最值与一元函数极值最值的比较:

?

一元函数

多元函数

极值

必要

条件

驻点:

驻点:

充分

条件1

驻点+

?

不能判别)

驻点+

A<0极大,A>0极小)

无极值

不能判别)

充分

条件2

驻点+左右单调性相反

---

最值

必要

条件

极值点或边界

极值点或边界曲线上的点

充分

条件

闭区间连续函数所有极值点、边界中的最大(小)值

闭区连续函数所有极值点、边界线中的最大(小)值

充分

条件2

具体应用时唯一的驻点。

具体应用时唯一的驻点。

?

3.求函数

????? 的极值与最值。

(内部:极大值

?边界线上的可能最值点:

最大:,最小:

?

4.求由方程

确定的函数z=fxy)的极值。

(驻点:(1-1),此时z有两个值:6-2,说明此方程确定两个函数分支z=6的分支为极大值,z=-2的分支为极小值。)

?

5.抛物面截成一椭圆,求原点到椭圆的最长距离与最短距离。

(距离:,拉格朗日函数:

驻点:

最长:,最短:

?

6 求内接于半径a的球且有最大体积的长方体。

(拉格朗日乘数法,各边边长为时,体积最大,最大值为:

?

专题3? 方向导数、梯度、偏导数与微分的关系。

可微有任意方向的方向导数

方向导数偏导

?? 方向导数梯度(值)

?? 等高线的方向梯度的方向

?

? 注意:偏导、方向导数均是数量,梯度是向量。方向导数可以看作是梯度在此方向的投影。

?

7.求函数在曲线上点(1,1,1)沿曲线在该点的切线正方向的方向导数。并求此点梯度以及沿着梯度方向的方向导数。最后的结论说明什么?

(切线正向{1,2,3}, 方向导数:

梯度:{2,2,2},方向导数:。此方向导数值即为梯度的模。说明梯度方向就是方向导数最大的方向。换句话说,梯度的模即为最大的方向导数。)

?

8:(练习册)求函数在点处沿曲线在这点的法线方向的方向导数。

(答案:

?????

?

9.在椭球面上求一点,使得函数在该点沿的方向导数为最大。

(设此点为()方向导数:

构造拉格朗日函数:

答案:最大值点:(-1/2,1/2), 最大值:1

?

补充题:

1.求曲线上的点,使

在该点的切线平行于平面

解: 切向量

平面法向量

,所求的点为

?

2.求曲面到平面的最短距离。

解: 曲面上点到平面

的距离为:

因为极大值相同,令:

解得,

可能的极值点为:

比较得

3.是由方程 所确定的隐函数,则当,.

????? ???????

???????????

(答案:D